Tripel Pythagoras

Pendahuluan

Pada materi Teorema Pythagoras, kita telah mengenal hubungan:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Tiga bilangan bulat positif $(a,b,c)$ yang memenuhi hubungan tersebut disebut tripel Pythagoras. Jika ketiga bilangan itu tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, maka tripel tersebut disebut tripel Pythagoras primitif.

Contoh tripel primitif: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$.

Rumus Dasar

Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif dengan $m > n > 0$, maka salah satu bentuk tripel Pythagoras adalah:

$$\boxed{(2mn,\ \ m^2 - n^2,\ \ m^2 + n^2)}$$

Bukti

Misalkan:

$$a = 2mn, \quad b = m^2 - n^2, \quad c = m^2 + n^2$$

Maka:

$$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= (2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 \ &= 4m^2n^2 + m^4 - 2m^2n^2 + n^4 \ &= m^4 + 2m^2n^2 + n^4 \ &= (m^2 + n^2)^2 \ &= c^2 \end{aligned}$$

Jadi, $(2mn,\ m^2-n^2,\ m^2+n^2)$ benar membentuk tripel Pythagoras. $\blacksquare$

Luas dan Keliling

Jika sisi-sisi segitiga siku-siku dinyatakan dengan bentuk tripel Pythagoras di atas, maka:

Luas

$$L = \frac{1}{2} \cdot 2mn \cdot (m^2 - n^2) = mn(m^2 - n^2)$$

Keliling

$$K = 2mn + (m^2 - n^2) + (m^2 + n^2) = 2m(m + n)$$

Kasus Khusus: Luas = Keliling

Dalam kondisi tertentu, luas segitiga bisa sama dengan keliling segitiga. Dari:

$$mn(m^2 - n^2) = 2m(m + n)$$

dapat diperoleh hubungan:

$$n(m - n) = 2$$

Contoh:

• Jika $m=3$ dan $n=1$, maka luas = keliling = 24
• Jika $m=3$ dan $n=2$, maka luas = keliling = 30

Jenis-Jenis Tripel Pythagoras

1. Tripel Pythagoras Primitif

Tripel Pythagoras $(a,b,c)$ disebut primitif jika $\text{FPB}(a,b,c) = 1$.

Beberapa sifatnya:

• Paling sedikit satu di antara $a$, $b$, atau $c$ adalah bilangan ganjil
• Salah satu dari $a$ atau $b$ genap
• $c$ selalu ganjil

2. Tripel Pythagoras Primitif Kembar

Tripel Pythagoras primitif kembar terjadi jika selisih hipotenusa dan sisi tegak terpanjangnya adalah 1.

$$c - \max(a,b) = 1$$

Jika $a > b$, maka syarat primitif kembar memberi:

$$(m^2 + n^2) - (m^2 - n^2) = 1 \implies 2n^2 = 1$$

Tidak ada solusi bilangan bulat positif. Sebaliknya, jika $b > a$:

$$(m^2 + n^2) - 2mn = 1 \implies (m - n)^2 = 1 \implies m = n + 1$$

Jadi tripel primitif kembar terjadi jika:

$$a = 2n(n+1), \quad b = 2n + 1, \quad c = 2n^2 + 2n + 1$$

3. Tripel Pythagoras Komposit

Tripel Pythagoras disebut komposit jika ketiga bilangannya masih mempunyai faktor persekutuan lebih dari 1. Merupakan kelipatan dari tripel primitif.

Contoh: $(6,8,10)$ adalah $2 \times (3,4,5)$ → komposit.

Contoh 1

Buktikan bahwa jika salah satu dari $a$ atau $b$ genap pada tripel Pythagoras primitif $(a,b,c)$, maka $c$ harus ganjil.

Penyelesaian

Gunakan pembuktian tidak langsung. Misalkan $c$ genap, dan $a$ serta $b$ ganjil.

Tulis:

$$a = 2p + 1, \quad b = 2q + 1, \quad c = 2r$$

Substitusikan ke persamaan Pythagoras:

$$\begin{aligned} (2p+1)^2 + (2q+1)^2 &= (2r)^2 \ 4p^2 + 4p + 1 + 4q^2 + 4q + 1 &= 4r^2 \ 4(p^2 + p + q^2 + q) + 2 &= 4r^2 \end{aligned}$$

Ruas kiri dibagi 4 bersisa 2, sedangkan ruas kanan habis dibagi 4. Kontradiksi.

Jadi anggapan bahwa $c$ genap salah, sehingga $c$ harus ganjil. $\blacksquare$

Contoh 2

Carilah semua tripel Pythagoras primitif $(a,b,c)$ dengan $b$ genap dan $c \le 40$.

Penyelesaian

Ambil:

$$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$$

dengan syarat:

• $m > n > 0$
• $m$ dan $n$ relatif prima
• $m$ dan $n$ tidak keduanya ganjil
• $m^2 + n^2 \le 40$

Semua tripel Pythagoras primitif dengan $c \le 40$: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(20,21,29)$.

Cara Menentukan Tripel Pythagoras

Langkah-langkah umum:

1. Tentukan dua bilangan asli $m$ dan $n$ dengan $m > n$
2. Hitung $m^2 - n^2$, $2mn$, dan $m^2 + n^2$
3. Ketiga hasil tersebut membentuk tripel Pythagoras

Contoh:

• $m=2$, $n=1$ → $(3,4,5)$
• $m=3$, $n=2$ → $(5,12,13)$
• $m=4$, $n=1$ → $(8,15,17)$

Catatan:

• Semua kelipatan dari tripel Pythagoras juga tetap merupakan tripel Pythagoras
• Tripel Pythagoras tidak hanya muncul pada bilangan bulat, tetapi juga bisa pada bilangan pecahan atau irasional, misalnya $(3,3,3\sqrt{2})$ atau $\left(\frac{3}{2},2,\frac{5}{2}\right)$

Penutup

Tripel Pythagoras memberi cara cepat untuk membangun segitiga siku-siku tanpa harus menghitung dari nol setiap kali. Dengan memahami rumus dasarnya, jenis-jenisnya, dan syarat tripel primitif, kita bisa mengenali banyak pola bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras.