Menemukan Teorema Pythagoras
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan pengertian teorema Pythagoras
- Menemukan hubungan $a^2 + b^2 = c^2$ pada segitiga siku-siku
- Menentukan sisi mana yang merupakan sisi miring (hipotenusa)
- Membedakan segitiga siku-siku dengan segitiga lainnya
- Menerapkan teorema Pythagoras dalam bentuk paling sederhana
A. Pengertian Segitiga Siku-Siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya $90^{\circ}$.
Bagian-Bagian Segitiga Siku-Siku
$$C$$ $$|$$ $$| \ $$ $$| \ \ $$ $$| \ \ \ $$ $$a \ \ \ \ \ \ c$$ $$| \ \ \ \ \ \ $$ $$| \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$A \ ____ \ B$$ $$b$$
- Sisi miring (hipotenusa) = sisi terpanjang, berada di depan sudut siku-siku ($c$)
- Sisi tegak (kaki) = dua sisi yang membentuk sudut siku-siku ($a$ dan $b$)
Penting: Sisi miring selalu lebih panjang dari masing-masing sisi tegak.
B. Menemukan Teorema Pythagoras
Aktivitas: Luas Persegi pada Sisi Segitiga
Buatlah segitiga siku-siku dengan sisi tegak $3$ cm dan $4$ cm. Gambarlah persegi pada setiap sisinya:
- Luas persegi pada sisi $3$ cm = $3^2 = 9$ cm$^2$
- Luas persegi pada sisi $4$ cm = $4^2 = 16$ cm$^2$
- Luas persegi pada sisi miring = $5^2 = 25$ cm$^2$
Amati: $9 + 16 = 25$
$$3^2 + 4^2 = 5^2$$
Kesimpulan
$$\boxed{c^2 = a^2 + b^2}$$
Pada segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi tegaknya.
Atau: Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi tegak.
C. Contoh Identifikasi Sisi Miring
Untuk setiap segitiga siku-siku, sisi miring adalah sisi terpanjang yang berada di depan sudut siku-siku.
| Segitiga | Sisi Tegak | Sisi Miring | $a^2 + b^2 = c^2$ |
|---|---|---|---|
| $\triangle$ (3,4,5) | 3 dan 4 | 5 | $3^2 + 4^2 = 5^2$ ✅ |
| $\triangle$ (5,12,13) | 5 dan 12 | 13 | $5^2 + 12^2 = 13^2$ ✅ |
| $\triangle$ (8,15,17) | 8 dan 15 | 17 | $8^2 + 15^2 = 17^2$ ✅ |
| $\triangle$ (6,8,10) | 6 dan 8 | 10 | $6^2 + 8^2 = 10^2$ ✅ |
| $\triangle$ (7,9,12) | 7 dan 9 | 12 | $7^2 + 9^2 = 12^2$ ❌ ($130 \neq 144$) |
D. Membuktikan Kebenaran Pythagoras
Cara 1: Menggunakan Persegi
Perhatikan persegi besar yang di dalamnya terdapat 4 segitiga siku-siku sama besar:
Luas persegi besar = $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Luas 4 segitiga = $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$
Luas persegi di tengah (pada sisi miring) = $c^2$
Sehingga: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Cara 2: Percobaan Sederhana
- Potong kertas persegi seluas $a^2$ dan $b^2$
- Letakkan di atas kertas seluas $c^2$
- Jika $a^2 + b^2$ tepat menutupi $c^2$, maka teorema terbukti
E. Rangkuman
| No | Konsep | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Teorema Pythagoras | $c^2 = a^2 + b^2$ |
| 2 | Sisi miring | Sisi terpanjang, di depan sudut $90^{\circ}$ |
| 3 | Hubungan luas | Luas persegi pada $c$ = luas pada $a$ + luas pada $b$ |
F. Latihan Soal
- Manakah yang merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku dengan sisi $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm?
- Tentukan panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi tegak $5$ cm dan $12$ cm!
- Apakah $9^2 + 12^2 = 15^2$? Buktikan!
- Sebuah segitiga memiliki sisi $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm. Apakah segitiga siku-siku?
- Segitiga siku-siku dengan sisi tegak $8$ cm dan $15$ cm. Hitung $c^2$!
- Jika $a = 9$ cm, $b = 40$ cm, hitung $c$ menggunakan teorema Pythagoras!
- Sisi tegak segitiga $12$ cm dan $16$ cm. Tentukan panjang sisi miringnya!
- Buktikan kebenaran $a^2 + b^2 = c^2$ untuk sisi $(9, 12, 15)$!
G. Kunci Jawaban
- Sisi $10$ cm (terpanjang)
- $c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. $c = 13$ cm
- $9^2 = 81$, $12^2 = 144$, $81 + 144 = 225 = 15^2$. Benar!
- $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Ya, siku-siku!
- $c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
- $c^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$. $c = 41$ cm
- $c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$. $c = 20$ cm
- $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Terbukti $a^2 + b^2 = c^2$!