Jarak Dua Titik pada Bidang Koordinat Kartesius
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menentukan selisih koordinat $x$ dan $y$ dua titik
- Menghitung jarak dua titik menggunakan rumus $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
- Menyelesaikan masalah kontekstual terkait jarak pada koordinat
A. Rumus Jarak Dua Titik
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
Ini berasal dari teorema Pythagoras:
- $\Delta x = x_2 - x_1$ (selisih horizontal)
- $\Delta y = y_2 - y_1$ (selisih vertikal)
B. Contoh
Contoh 1: Titik Sederhana
Titik $A(1, 2)$ dan $B(5, 5)$. Hitung jaraknya!
$\Delta x = 5 - 1 = 4$ $\Delta y = 5 - 2 = 3$ $d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
Contoh 2: Dengan Negatif
$P(-2, 3)$ dan $Q(4, -1)$.
$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ $\Delta y = -1 - 3 = -4$ $d = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
C. Tabel Contoh
| Titik A | Titik B | $\Delta x$ | $\Delta y$ | Jarak |
|---|---|---|---|---|
| $(0,0)$ | $(3,4)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(2,1)$ | $(7,1)$ | $5$ | $0$ | $5$ |
| $(1,3)$ | $(1,8)$ | $0$ | $5$ | $5$ |
| $(-1,2)$ | $(3,-1)$ | $4$ | $-3$ | $5$ |
| $(0,0)$ | $(6,8)$ | $6$ | $8$ | $10$ |
| $(3,5)$ | $(8,17)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
D. Rangkuman
$\text{Jarak} = \sqrt{(\text{selisih }x)^2 + (\text{selisih }y)^2}$
💡 Tips: Selisih bisa positif atau negatif — kuadratkan selalu hasil positif. Urutan titik tidak penting: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
E. Latihan Soal
- $A(1,1)$, $B(4,5)$. Hitung jarak!
- $P(-3,2)$, $Q(2,14)$. Hitung jarak!
- $C(0,0)$, $D(7,24)$. Hitung jarak!
- Jarak $(2,3)$ ke $(x,7) = 5$. Tentukan $x$!
- Buktikan titik $(0,0)$, $(6,8)$, $(12,0)$ membentuk segitiga sama kaki!
- Jarak rumah Andi $(2,3)$ ke sekolah $(8,11)$. Berapa km (dalam satuan kotak)?
F. Kunci Jawaban
- $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$
- $d = \sqrt{5^2+12^2} = 13$
- $d = \sqrt{7^2+24^2} = 25$
- $\sqrt{(x-2)^2 + (7-3)^2} = 5 \Rightarrow (x-2)^2 + 16 = 25 \Rightarrow (x-2)^2 = 9 \Rightarrow x-2 = \pm3 \Rightarrow x = 5 \text{ atau } x = -1$
- $d(0,0)\text{ ke }(6,8) = 10$, $d(6,8)\text{ ke }(12,0) = \sqrt{6^2+8^2} = 10$, $d(0,0)\text{ ke }(12,0) = 12$. Dua sisi sama = segitiga sama kaki.
- $d = \sqrt{6^2+8^2} = 10$ satuan kotak