Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat
2. Menerapkan sifat perkalian bilangan berpangkat $a^m \times a^n = a^{m+n}$
3. Menerapkan sifat pembagian bilangan berpangkat $a^m \div a^n = a^{m-n}$
4. Menerapkan sifat perpangkatan bilangan berpangkat $(a^m)^n = a^{m \times n}$
5. Menerapkan sifat perkalian dan pembagian dengan basis berbeda

A. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Rumus

$$a^m \times a^n = a^{m + n}$$

dengan $a \neq 0$, serta $m$ dan $n$ bilangan bulat positif.

Pembuktian

$$a^m \times a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}{m \text{ kali}} \times \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}{n \text{ kali}}$$

$$= \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{(m + n) \text{ kali}}$$

$$= a^{m + n}$$

Contoh 1: Perkalian

Sederhanakan bentuk berikut!

Penting! Sifat ini hanya berlaku jika basisnya sama. $2^3 \times 3^4$ tidak bisa disederhanakan dengan sifat ini.

B. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Rumus

$$a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$

dengan $a \neq 0$, serta $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, $m > n$.

Pembuktian

$$\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^{m \text{ kali}}}{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ kali}}}$$

$$= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{(m - n) \text{ kali}} = a^{m - n}$$

Contoh 2: Pembagian

Sederhanakan bentuk berikut!

C. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Rumus

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

dengan $a \neq 0$, serta $m$ dan $n$ bilangan bulat positif.

Pembuktian

$$(a^m)^n = \underbrace{a^m \times a^m \times a^m \times \cdots \times a^m}_{n \text{ kali}}$$

$$= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{m \times n \text{ kali}}$$

$$= a^{m \times n}$$

Contoh 3: Perpangkatan

Sederhanakan bentuk berikut!

Perhatikan: $((-2)^3)^2 = (-2)^6 = 64$, sedangkan $((-2)^2)^3 = (-2)^6 = 64$. Hasilnya sama karena perkalian bersifat komutatif.

D. Sifat Perpangkatan dari Suatu Perkalian

Rumus

$$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$

dengan $a$ dan $b$ bilangan real, serta $n$ bilangan bulat positif.

Pembuktian

$$(a \times b)^n = \underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \times \cdots \times (a \times b)}_{n \text{ kali}}$$

$$= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}{n \text{ kali}} \times \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}{n \text{ kali}}$$

$$= a^n \times b^n$$

Contoh 4: Perpangkatan Perkalian

Sederhanakan bentuk berikut!

Alternatif: $(2 \times 3)^4 = 6^4 = 1.296$ — hasilnya sama!

E. Sifat Perpangkatan dari Suatu Pembagian

Rumus

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

dengan $a$ dan $b$ bilangan real, $b \neq 0$, serta $n$ bilangan bulat positif.

Pembuktian

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_{n \text{ kali}}$$

$$= \frac{\overbrace{a \times a \times \cdots \times a}^{n \text{ kali}}}{\underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ kali}}} = \frac{a^n}{b^n}$$

Contoh 5: Perpangkatan Pembagian

Sederhanakan bentuk berikut!

F. Rangkuman Sifat-Sifat

Tips Menghafal

G. Contoh Soal Cerita

Contoh 6: Volume Balok

Sebuah balok memiliki panjang $2^3$ cm, lebar $2^2$ cm, dan tinggi $2^4$ cm. Hitunglah volume balok tersebut dalam bentuk bilangan berpangkat!

Penyelesaian:

$$V = p \times l \times t$$

$$V = 2^3 \times 2^2 \times 2^4$$

$$V = 2^{3+2+4} = 2^9$$

$$V = 512 \text{ cm}^3$$

Jadi, volume balok tersebut adalah $\mathbf{512 \text{ cm}^3}$ atau $2^9 \text{ cm}^3$.

H. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Sederhanakan $3^4 \times 3^5$ dalam bentuk pangkat!
2. Hitung $(-2)^8 \div (-2)^5$!
3. Sederhanakan $(5^3)^4$ dalam bentuk pangkat!
4. Nyatakan $(3 \times 4)^3$ dalam bentuk $a^n \times b^n$!
5. Sederhanakan $\left(\frac{6}{7}\right)^2$ dalam bentuk $\frac{a^n}{b^n}$!
6. Hitung $2^3 \times 2^4 \div 2^2$!
7. Jika $a = 2$, hitung $a^2 \times a^3 \div a^4$!
8. Sederhanakan $(x^2 \times x^5)^3$ dalam bentuk $x^n$!
9. Sebuah persegi memiliki panjang sisi $2^3$ cm. Hitung luas persegi dalam bentuk pangkat!
10. Mana yang lebih besar: $(3^2)^3$ atau $3^{2^3}$?

I. Kunci Jawaban

1. $3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$
2. $(-2)^8 \div (-2)^5 = (-2)^{8-5} = (-2)^3 = -8$
3. $(5^3)^4 = 5^{3 \times 4} = 5^{12}$
4. $(3 \times 4)^3 = 3^3 \times 4^3$
5. $\left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{6^2}{7^2} = \frac{36}{49}$
6. $2^3 \times 2^4 \div 2^2 = 2^{3+4-2} = 2^5 = 32$
7. $a^2 \times a^3 \div a^4 = a^{2+3-4} = a^1 = 2$
8. $(x^2 \times x^5)^3 = (x^{2+5})^3 = (x^7)^3 = x^{7 \times 3} = x^{21}$
9. $L = s^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \text{ cm}^2$
10. $(3^2)^3 = 3^6 = 729$, sedangkan $3^{2^3} = 3^8 = 6.561$. Jadi $3^{2^3}$ lebih besar.