← Kembali ke Bilangan Berpangkat

Pengertian dan Notasi Bilangan Berpangkat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

  1. Membaca notasi bilangan berpangkat $a^n$ dengan benar
  2. Menulis bilangan dalam bentuk pangkat
  3. Mengidentifikasi bilangan pokok (basis) dan pangkat (eksponen)
  4. Menjelaskan arti dari bilangan berpangkat

A. Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut:

$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$

Penulisan yang panjang seperti di atas dapat dipersingkat menggunakan notasi pangkat. Bilangan $2$ yang dikalikan berulang sebanyak $5$ kali dapat ditulis sebagai:

$$2^5$$

Bentuk $2^5$ disebut bilangan berpangkat. Angka $2$ disebut bilangan pokok (basis) dan angka $5$ disebut pangkat (eksponen).

Definisi: Jika $a$ adalah bilangan real dan $n$ adalah bilangan bulat positif, maka:

$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ kali}}$$

dengan:

  • $a$ = bilangan pokok (basis)
  • $n$ = pangkat (eksponen)
  • $a^n$ dibaca "$a$ pangkat $n$"

B. Contoh dan Latihan Pemahaman

Contoh 1: Mengubah Perkalian ke Bentuk Pangkat

Tuliskan perkalian berulang berikut ke dalam bentuk bilangan berpangkat!

Perkalian BerulangBentuk PangkatCara Membaca
$7 \times 7 \times 7$$7^3$“7 pangkat 3”
$(-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3)$$(-3)^4$“negatif 3 pangkat 4”
$10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$$10^5$“10 pangkat 5”
$0,5 \times 0,5 \times 0,5$$(0,5)^3$“0,5 pangkat 3”

Catatan: Jika bilangan pokoknya negatif, gunakan tanda kurung: $(-3)^4$ bukan $-3^4$. Mengapa? Karena $-3^4 = -(3^4)$, artinya berbeda!

Contoh 2: Mengubah Bentuk Pangkat ke Perkalian

Tuliskan bentuk pangkat berikut sebagai perkalian berulang!

Bentuk PangkatPerkalian BerulangHasil
$2^3$$2 \times 2 \times 2$$8$
$5^2$$5 \times 5$$25$
$(-2)^3$$(-2) \times (-2) \times (-2)$$-8$
$3^4$$3 \times 3 \times 3 \times 3$$81$

C. Bilangan Pokok (Basis) dan Pangkat (Eksponen)

Setiap bilangan berpangkat $a^n$ memiliki dua komponen utama:

KomponenNamaPenjelasanContoh pada $5^3$
$a$Bilangan pokok (basis)Bilangan yang dikalikan berulang$5$
$n$Pangkat (eksponen)Banyaknya perkalian berulang$3$

Contoh 3: Identifikasi Basis dan Pangkat

Bilangan BerpangkatBasisPangkatArtinya
$4^2$$4$$2$$4 \times 4 = 16$
$(-5)^3$$-5$$3$$(-5) \times (-5) \times (-5) = -125$
$2^7$$2$$7$$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128$
$10^4$$10$$4$$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10.000$

D. Perhatikan: $(-a)^n$ vs $-a^n$

Seringkali siswa keliru membedakan $(-a)^n$ dengan $-a^n$. Perhatikan perbedaannya:

BentukArtiContohHasil
$(-2)^4$$(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$Basis $-2$, pangkat $4$$16$
$-2^4$$-(2 \times 2 \times 2 \times 2)$Basis $2$, pangkat $4$, lalu dinegatifkan$-16$
$(-2)^3$$(-2) \times (-2) \times (-2)$Basis $-2$, pangkat $3$$-8$
$-2^3$$-(2 \times 2 \times 2)$Basis $2$, pangkat $3$, lalu dinegatifkan$-8$*

$\text{* }$Kebetulan hasilnya sama untuk pangkat ganjil, tetapi berbeda untuk pangkat genap!

E. Contoh Soal Cerita

Contoh 4: Bakteri Membelah Diri

Seorang peneliti mengamati perkembangan bakteri. Setiap jam, jumlah bakteri menjadi 2 kali lipat. Jika mula-mula ada $1$ bakteri, berapa jumlah bakteri setelah $6$ jam?

Penyelesaian:

WaktuPerkalianBentuk PangkatJumlah
Mula-mula$1$—$1$
Jam ke-1$2$$2^1$$2$
Jam ke-2$2 \times 2$$2^2$$4$
Jam ke-3$2 \times 2 \times 2$$2^3$$8$
Jam ke-4$2 \times 2 \times 2 \times 2$$2^4$$16$
Jam ke-5$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$2^5$$32$
Jam ke-6$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$2^6$$64$

Jadi, jumlah bakteri setelah $6$ jam adalah $2^6 = \mathbf{64}$ bakteri. 🦠

F. Rangkuman

  1. Bilangan berpangkat adalah bentuk perkalian berulang dari bilangan yang sama.
  2. Notasi: $a^n$ dengan $a$ = basis (bilangan pokok) dan $n$ = eksponen (pangkat).
  3. $a^n$ dibaca “$a$ pangkat $n$”.
  4. $a^n = a \times a \times a \times \dots \times a$ sebanyak $n$ kali.
  5. Perhatikan perbedaan $(-a)^n$ dengan $-a^n$:
    • $(-a)^n$ = basis $-a$ dipangkatkan $n$
    • $-a^n$ = basis $a$ dipangkatkan $n$, lalu hasilnya dinegatifkan

G. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahamanmu!

  1. Tuliskan $8 \times 8 \times 8 \times 8$ dalam bentuk bilangan berpangkat!
  2. Tentukan hasil dari $(-6)^2$!
  3. Tentukan hasil dari $-6^2$! Apakah sama dengan nomor 2?
  4. Identifikasi basis dan pangkat dari $(-12)^5$!
  5. Tuliskan $3^5$ dalam bentuk perkalian berulang, lalu hitung hasilnya!
  6. Mana yang lebih besar: $2^5$ atau $5^2$?
  7. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk $4$ cm. Volume kubus dapat ditulis sebagai $4^3$. Hitunglah volume kubus tersebut!

H. Kunci Jawaban

  1. $8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^4$
  2. $(-6)^2 = (-6) \times (-6) = 36$
  3. $-6^2 = -(6 \times 6) = -36$. Tidak sama dengan nomor 2!
  4. $(-12)^5$: basis = $-12$, pangkat = $5$
  5. $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$
  6. $2^5 = 32$, $5^2 = 25$. Jadi $2^5$ lebih besar.
  7. Volume kubus $= 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3$
💡 Tips Belajar: Hafalkan beberapa bilangan berpangkat dasar seperti $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, $2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$, $2^9 = 512$, $2^{10} = 1024$. Ini akan sangat membantu saat belajar materi selanjutnya!