Penerapan Bilangan Berpangkat dalam Kehidupan Sehari-hari

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Mengidentifikasi masalah sehari-hari yang melibatkan bilangan berpangkat
2. Merumuskan masalah ke dalam bentuk bilangan berpangkat
3. Memecahkan masalah menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat
4. Menggunakan notasi ilmiah untuk menulis bilangan besar dan kecil

A. Bunga Majemuk di Bank

Rumus

$$M_n = M_0 \times (1 + r)^n$$

dengan:

• $M_n$ = jumlah uang setelah $n$ tahun
• $M_0$ = jumlah uang mula-mula
• $r$ = suku bunga per tahun (dalam desimal)
• $n$ = jumlah tahun

Contoh 1: Tabungan di Bank

Ali menabung Rp1.000.000,00 di bank dengan bunga majemuk $10%$ per tahun. Berapa jumlah tabungan Ali setelah 5 tahun?

Penyelesaian:

$$M_0 = 1.000.000$$

$$r = 10% = 0,1$$

$$n = 5$$

$$M_5 = 1.000.000 \times (1 + 0,1)^5$$

$$M_5 = 1.000.000 \times (1,1)^5$$

$$M_5 = 1.000.000 \times 1,61051$$

$$M_5 = 1.610.510$$

Jadi, jumlah tabungan Ali setelah 5 tahun adalah Rp1.610.510,00.

Contoh 2: Menghitung Pertumbuhan

Tabungan awal Rp2.000.000,00 dengan bunga majemuk $5%$ per tahun. Berapa tabungan setelah 10 tahun?

$$M_{10} = 2.000.000 \times (1,05)^{10}$$

$$M_{10} = 2.000.000 \times 1,62889$$

$$M_{10} = 3.257.789$$

Jadi, jumlahnya Rp3.257.789,00.

B. Pertumbuhan Bakteri

Rumus

$$S_n = S_0 \times a^n$$

dengan:

• $S_n$ = jumlah bakteri setelah $n$ periode
• $S_0$ = jumlah bakteri mula-mula
• $a$ = faktor pertumbuhan (misal: 2 jika membelah menjadi 2)
• $n$ = jumlah periode

Contoh 3: Bakteri Membelah Diri

Seorang peneliti mengamati bakteri yang setiap jam membelah menjadi 2 kali lipat. Jika mula-mula ada 1 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 8 jam?

Penyelesaian:

$$S_0 = 1$$

$$a = 2$$

$$n = 8$$

$$S_8 = 1 \times 2^8$$

$$S_8 = 256$$

Jadi, jumlah bakteri setelah 8 jam adalah 256 bakteri.

Contoh 4: Jumlah Bakteri yang Lebih Besar

Jika mula-mula ada 500 bakteri dan setiap jam membelah menjadi 2 kali lipat, berapa jumlah bakteri setelah 6 jam?

$$S_6 = 500 \times 2^6$$

$$S_6 = 500 \times 64$$

$$S_6 = 32.000$$

Jadi, jumlah bakteri setelah 6 jam adalah 32.000 bakteri. 🦠

C. Peluruhan Zat Radioaktif

Rumus

$$M = M_0 \times 2^{-t}$$

dengan:

• $M$ = massa zat setelah $t$ jam
• $M_0$ = massa zat mula-mula
• $t$ = waktu (jam)

Contoh 5: Dosis Obat

Seorang pasien diberikan dosis obat 500 mg. Setiap jam, kadar obat dalam tubuh berkurang menjadi setengahnya. Berapa kadar obat yang tersisa setelah 4 jam?

Penyelesaian:

$$M_0 = 500$$

$$t = 4$$

$$M = 500 \times 2^{-4}$$

$$M = 500 \times \frac{1}{2^4}$$

$$M = 500 \times \frac{1}{16}$$

$$M = 31,25$$

Jadi, kadar obat yang tersisa setelah 4 jam adalah 31,25 mg.

D. Menghitung Volume Bangun Ruang

Contoh 6: Volume Kubus

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk $2^3$ cm. Hitung volume kubus tersebut dalam bentuk bilangan berpangkat!

Penyelesaian:

$$V = s^3$$

$$V = (2^3)^3$$

$$V = 2^{3 \times 3}$$

$$V = 2^9$$

$$V = 512 \text{ cm}^3$$

Jadi, volume kubus tersebut adalah $2^9 \text{ cm}^3 = 512 \text{ cm}^3$.

Contoh 7: Luas Permukaan

Sebuah persegi memiliki panjang sisi $3^2$ cm. Hitung luasnya!

$$L = s^2$$

$$L = (3^2)^2$$

$$L = 3^{2 \times 2}$$

$$L = 3^4$$

$$L = 81 \text{ cm}^2$$

E. Notasi Ilmiah

Notasi ilmiah digunakan untuk menulis bilangan yang sangat besar atau sangat kecil.

Aturan Notasi Ilmiah

$$a \times 10^n$$

dengan $1 \leq a < 10$ dan $n$ bilangan bulat.

Contoh 8: Bilangan Besar

Contoh 9: Bilangan Kecil

Contoh 10: Operasi Notasi Ilmiah

Hitung $(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^6)$ dalam notasi ilmiah!

$$(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^6)$$

$$= (3 \times 2) \times (10^8 \times 10^6)$$

$$= 6 \times 10^{8+6}$$

$$= 6 \times 10^{14}$$

F. Skala Gempa

Skala Richter

Skala Richter menggunakan bilangan berpangkat untuk mengukur kekuatan gempa. Setiap kenaikan 1 skala berarti gempa 10 kali lebih kuat.

Contoh 11: Perbandingan Gempa

Gempa A berkekuatan 6 SR dan gempa B berkekuatan 8 SR. Berapa kali lebih kuat gempa B dibanding gempa A?

Penyelesaian:

$$\frac{\text{Kekuatan Gempa B}}{\text{Kekuatan Gempa A}} = \frac{10^8}{10^6}$$

$$= 10^{8-6}$$

$$= 10^2$$

$$= 100$$

Jadi, gempa 8 SR 100 kali lebih kuat dari gempa 6 SR.

G. Rangkuman

H. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Tabungan Rp3.000.000 dengan bunga majemuk $8%$ per tahun. Berapa tabungan setelah 3 tahun?
2. Bakteri membelah menjadi 2 setiap 30 menit. Jika mula-mula 100 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 2 jam?
3. Dosis obat 200 mg. Setiap jam berkurang setengahnya. Berapa sisa setelah 3 jam?
4. Tuliskan $0,00000075$ dalam notasi ilmiah!
5. Tuliskan $3,2 \times 10^5$ dalam bentuk bilangan biasa!
6. Sebuah kubus memiliki volume $27 \text{ cm}^3$. Berapa panjang rusuknya? (Petunjuk: $3^? = 27$)
7. Hitung $(4 \times 10^9) \div (2 \times 10^6)$ dalam notasi ilmiah!
8. Gempa 5 SR berapa kali lebih kuat dari gempa 3 SR?

I. Kunci Jawaban

1. $M_3 = 3.000.000 \times (1,08)^3 = 3.000.000 \times 1,25971 = 3.779.136$
2. 2 jam = 4 periode. $S_4 = 100 \times 2^4 = 100 \times 16 = 1.600$ bakteri
3. $M = 200 \times 2^{-3} = 200 \times \frac{1}{8} = 25$ mg
4. $0,00000075 = 7,5 \times 10^{-7}$
5. $3,2 \times 10^5 = 320.000$
6. $V = s^3 = 27$, maka $s = \sqrt[3]{27} = 3$ cm (karena $3^3 = 27$)
7. $(4 \times 10^9) \div (2 \times 10^6) = 2 \times 10^{9-6} = 2 \times 10^3$
8. $\frac{10^5}{10^3} = 10^{5-3} = 10^2 = 100$ kali lebih kuat