← Kembali ke Bilangan Berpangkat

Pangkat Nol dan Pangkat Negatif

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

  1. Menjelaskan arti dari $a^0 = 1$ dengan $a \neq 0$
  2. Menjelaskan arti dari $a^{-n}$ sebagai kebalikan dari $a^n$
  3. Menghitung nilai bilangan berpangkat nol dan negatif
  4. Mengubah bentuk pangkat negatif ke bentuk pangkat positif
  5. Menerapkan sifat-sifat pangkat negatif dalam perhitungan

A. Pangkat Nol

Rumus

$$a^0 = 1$$

dengan $a \neq 0$ (bilangan real apa pun yang tidak nol, jika dipangkatkan 0 hasilnya 1).

Penting: $0^0$ tidak terdefinisi!

Pembuktian

Kita gunakan sifat pembagian bilangan berpangkat:

$$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$$

Di sisi lain:

$$\frac{a^n}{a^n} = 1$$

Karena kedua bentuk sama, maka:

$$a^0 = 1$$

Contoh 1: Pangkat Nol

BilanganHasil
$2^0$$1$
$(-5)^0$$1$
$\left(\frac{3}{4}\right)^0$$1$
$100^0$$1$
$x^0$$1$ (dengan $x \neq 0$)

B. Pangkat Negatif

Rumus

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

dengan $a \neq 0$, serta $n$ bilangan bulat positif.

Artinya: pangkat negatif adalah kebalikan (resiprokal) dari pangkat positifnya.

Pembuktian

Kita gunakan sifat pembagian:

$$a^{-n} = a^{0-n}$$

$$= \frac{a^0}{a^n}$$

$$= \frac{1}{a^n}$$

Contoh 2: Mengubah Pangkat Negatif ke Positif

Bentuk Pangkat NegatifBentuk PositifHasil
$2^{-3}$$\frac{1}{2^3}$$\frac{1}{8}$
$5^{-2}$$\frac{1}{5^2}$$\frac{1}{25}$
$(-3)^{-2}$$\frac{1}{(-3)^2}$$\frac{1}{9}$
$10^{-4}$$\frac{1}{10^4}$$\frac{1}{10.000} = 0,0001$

Perhatikan: $(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$ (positif), sedangkan $-3^{-2} = -\frac{1}{9}$ (negatif). Beda tipis!

Contoh 3: Perkalian dengan Pangkat Negatif

Sederhanakan bentuk berikut!

SoalPenyelesaian
$2^3 \times 2^{-5}$$2^{3 + (-5)} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$(-3)^4 \times (-3)^{-6}$$(-3)^{4-6} = (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$
$x^5 \times x^{-2}$$x^{5-2} = x^{3}$
$y^{-3} \times y^{-4}$$y^{-3-4} = y^{-7} = \frac{1}{y^7}$

Contoh 4: Pembagian dengan Pangkat Negatif

Sederhanakan bentuk berikut!

SoalPenyelesaian
$\frac{2^5}{2^{-3}}$$2^{5 - (-3)} = 2^{5+3} = 2^8 = 256$
$(-4)^3 \div (-4)^5$$(-4)^{3-5} = (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$
$\frac{x^{-2}}{x^{-5}}$$x^{-2-(-5)} = x^{-2+5} = x^3$

C. Pangkat Negatif di Penyebut

Rumus

$$\frac{1}{a^{-n}} = a^n$$

Pembuktian

$$\frac{1}{a^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{a^n}} = a^n$$

Contoh 5: Pecahan Bertingkat

SoalPenyelesaian
$\frac{1}{2^{-3}}$$2^3 = 8$
$\frac{1}{(-5)^{-2}}$$(-5)^2 = 25$
$\frac{x^{-2}}{y^{-3}}$$\frac{y^3}{x^2}$

D. Perpangkatan dari Pecahan

Rumus

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

Pembuktian

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Contoh 6: Pecahan Dipangkatkan Negatif

SoalPenyelesaian
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$
$\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{-4}$$\left(\frac{b}{a}\right)^4 = \frac{b^4}{a^4}$

E. Tabel Perbandingan

Perhatikan pola berikut untuk basis $2$:

BentukNilaiBentukNilai
$2^4$$16$$2^{-4}$$\frac{1}{16}$
$2^3$$8$$2^{-3}$$\frac{1}{8}$
$2^2$$4$$2^{-2}$$\frac{1}{4}$
$2^1$$2$$2^{-1}$$\frac{1}{2}$
$2^0$$1$——

Pola: Semakin besar pangkat positif, semakin besar nilainya. Semakin besar pangkat negatif, semakin kecil nilainya (mendekati 0).

F. Contoh Penerapan dalam Sains

Contoh 7: Notasi Ilmiah

Dalam sains, bilangan yang sangat kecil sering ditulis menggunakan pangkat negatif.

$$0,001 = 10^{-3}$$

$$0,000001 = 10^{-6}$$

$$0,000000001 = 10^{-9}$$

Contoh: Diameter sebuah bakteri adalah $5 \times 10^{-6}$ meter. Artinya:

$$5 \times 10^{-6} = 5 \times \frac{1}{10^6} = \frac{5}{1.000.000} = 0,000005 \text{ meter}$$

Bilangan yang sangat kecil seperti ini sulit ditulis panjang-panjang, makanya digunakan notasi pangkat negatif.

Contoh 8: Radioaktivitas

Massa suatu zat radioaktif setelah $t$ jam dirumuskan $M = M_0 \times 2^{-t}$. Jika mula-mula $M_0 = 160$ gram, berapa massa setelah $3$ jam?

Penyelesaian:

$$M = 160 \times 2^{-3}$$

$$M = 160 \times \frac{1}{2^3}$$

$$M = 160 \times \frac{1}{8}$$

$$M = 20 \text{ gram}$$

Jadi, massa setelah $3$ jam adalah $\mathbf{20 \text{ gram}}$.

G. Rangkuman

NoKonsepRumusContoh
1Pangkat nol$a^0 = 1$$2^0 = 1$, $(-5)^0 = 1$
2Pangkat negatif$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$2^{-3} = \frac{1}{8}$
3Negatif di penyebut$\frac{1}{a^{-n}} = a^n$$\frac{1}{2^{-3}} = 8$
4Perkalian$a^m \times a^{-n} = a^{m-n}$$2^3 \times 2^{-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
5Pecahan negatif$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4}$
💡 Tips: Ingat saja: "Pangkat negatif = kebalikan". Kalau ragu, ubah dulu ke bentuk positif dengan cara membalik (resiprokal), baru hitung seperti biasa.

H. Latihan Soal

  1. Hitung $3^0 + (-2)^0$!
  2. Nyatakan $4^{-3}$ dalam bentuk pecahan biasa!
  3. Sederhanakan $2^{-5} \times 2^3$ dalam bentuk pangkat!
  4. Hitung $\frac{1}{3^{-2}}$!
  5. Sederhanakan $\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}$ dalam bentuk pecahan!
  6. Nyatakan $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ dalam bentuk pangkat positif!
  7. Hitung $5^{-1} \times 5^4 \div 5^{-2}$!
  8. Tuliskan $0,00000025$ dalam notasi ilmiah (gunakan pangkat 10)!
  9. Jika $a = 2$, hitung $\frac{a^3 \times a^{-5}}{a^{-4}}$!
  10. Mana yang lebih besar: $2^{-3}$ atau $3^{-2}$?

I. Kunci Jawaban

  1. $3^0 + (-2)^0 = 1 + 1 = 2$
  2. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$
  3. $2^{-5} \times 2^3 = 2^{-5+3} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
  4. $\frac{1}{3^{-2}} = 3^2 = 9$
  5. $\left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$
  6. $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$
  7. $5^{-1} \times 5^4 \div 5^{-2} = 5^{-1+4-(-2)} = 5^{5} = 3.125$
  8. $0,00000025 = 2,5 \times 10^{-7}$
  9. $a^3 \times a^{-5} \div a^{-4} = a^{3-5+4} = a^2 = 4$
  10. $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0,125$, $3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0,111$. Jadi $2^{-3}$ lebih besar.