Pengertian dan Notasi Bentuk Akar
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi bentuk akar $\sqrt{a}$ dengan benar
- Menjelaskan syarat $a \geq 0$ agar $\sqrt{a}$ merupakan bilangan real
- Membedakan bilangan rasional dan irasional
- Mengelompokkan bilangan ke dalam bentuk akar atau bukan bentuk akar
- Menentukan nilai bentuk akar sederhana
A. Pengertian Bentuk Akar
Bentuk akar adalah kebalikan dari bilangan berpangkat. Jika $a^n = b$, maka $\sqrt[n]{b} = a$. Untuk pangkat dua (kuadrat), kita menggunakan notasi akar tanpa angka indeks:
Definisi
$$\sqrt{a} = b \quad \text{berarti} \quad b^2 = a$$
dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.
Contoh 1: Akar Kuadrat Sederhana
| Bentuk Akar | Artinya | Hasil |
|---|---|---|
| $\sqrt{9}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 9 | $3$ karena $3^2 = 9$ |
| $\sqrt{16}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 16 | $4$ karena $4^2 = 16$ |
| $\sqrt{25}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 25 | $5$ karena $5^2 = 25$ |
| $\sqrt{100}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 100 | $10$ karena $10^2 = 100$ |
| $\sqrt{144}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 144 | $12$ karena $12^2 = 144$ |
| $\sqrt{1}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 1 | $1$ karena $1^2 = 1$ |
| $\sqrt{0}$ | Bilangan yang jika dikuadratkan = 0 | $0$ karena $0^2 = 0$ |
B. Syarat Bentuk Akar sebagai Bilangan Real
Syarat utama: Bilangan di bawah tanda akar (disebut radikan) harus lebih dari atau sama dengan nol.
$$\boxed{a \geq 0 \quad \text{untuk} \quad \sqrt{a}}$$
Mengapa?
Kita tahu bahwa kuadrat dari bilangan real tidak pernah negatif:
$$(\text{positif})^2 = \text{positif}$$
$$(\text{negatif})^2 = \text{positif}$$
$$0^2 = 0$$
Karena tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif, maka $\sqrt{-4}$ bukan bilangan real.
Contoh 2: Mana yang Real?
| Bentuk Akar | Status | Alasan |
|---|---|---|
| $\sqrt{36}$ | ā Real | $\sqrt{36} = 6$ |
| $\sqrt{0,25}$ | ā Real | $\sqrt{0,25} = 0,5$ |
| $\sqrt{-9}$ | ā Tidak real | Tidak ada bilangan real yang kuadratnya $-9$ |
| $\sqrt{-1}$ | ā Tidak real | Tidak ada bilangan real yang kuadratnya $-1$ |
| $\sqrt{2}$ | ā Real | $\sqrt{2} \approx 1,414$ (irasional) |
Catatan: $\sqrt{-1}$ disebut bilangan imajiner dan ditulis dengan simbol $i$, dipelajari di tingkat yang lebih tinggi.
C. Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$ dengan $p, q$ bilangan bulat dan $q \neq 0$.
Ciri: Jika dinyatakan dalam desimal, angkanya berhenti (terminating) atau berulang (repeating).
Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$.
Ciri: Jika dinyatakan dalam desimal, angkanya tidak berhenti dan tidak berulang.
Tabel Perbandingan
| Jenis | Contoh | Bentuk Desimal |
|---|---|---|
| Rasional | $\sqrt{4} = 2$ | $2,0$ (berhenti) |
| Rasional | $\sqrt{9} = 3$ | $3,0$ (berhenti) |
| Rasional | $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ | $0,5$ (berhenti) |
| Rasional | $\sqrt{0,16} = 0,4$ | $0,4$ (berhenti) |
| Irasional | $\sqrt{2}$ | $1,414213562…$ |
| Irasional | $\sqrt{3}$ | $1,732050807…$ |
| Irasional | $\sqrt{5}$ | $2,236067977…$ |
| Irasional | $\sqrt{7}$ | $2,645751311…$ |
Aturan Penting
$$\sqrt{a} = \text{bilangan bulat} \quad \text{jika dan hanya jika} \quad a \text{ adalah bilangan kuadrat sempurna}$$
Kuadrat sempurna: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, …$
D. Akar Pangkat Tiga dan Seterusnya
Selain akar kuadrat ($\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$), ada juga akar pangkat tiga, empat, dan seterusnya.
Definisi Umum
$$\sqrt[n]{a} = b \quad \text{berarti} \quad b^n = a$$
dengan $n$ bilangan bulat positif ($n \geq 2$).
Contoh 3: Akar Pangkat Tiga
| Bentuk Akar | Artinya | Hasil |
|---|---|---|
| $\sqrt[3]{8}$ | Bilangan yang jika dipangkatkan 3 = 8 | $2$ karena $2^3 = 8$ |
| $\sqrt[3]{27}$ | Bilangan yang jika dipangkatkan 3 = 27 | $3$ karena $3^3 = 27$ |
| $\sqrt[3]{64}$ | Bilangan yang jika dipangkatkan 3 = 64 | $4$ karena $4^3 = 64$ |
| $\sqrt[3]{125}$ | Bilangan yang jika dipangkatkan 3 = 125 | $5$ karena $5^3 = 125$ |
Syarat untuk akar pangkat ganjil: Bilangan di bawah akar boleh negatif.
$$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{karena} \quad (-2)^3 = -8$$
E. Hubungan Bentuk Akar dengan Bilangan Berpangkat
Bentuk akar dapat ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan:
$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$$
$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$
Contoh 4: Mengubah ke Bentuk Pangkat
| Bentuk Akar | Bentuk Pangkat |
|---|---|
| $\sqrt{5}$ | $5^{\frac{1}{2}}$ |
| $\sqrt[3]{10}$ | $10^{\frac{1}{3}}$ |
| $\sqrt[4]{2}$ | $2^{\frac{1}{4}}$ |
| $\sqrt{7}$ | $7^{\frac{1}{2}}$ |
F. Contoh Soal Cerita
Contoh 5: Luas Persegi
Luas sebuah persegi adalah $49 \text{ cm}^2$. Berapa panjang sisi persegi tersebut?
Penyelesaian:
$$L = s^2$$
$$49 = s^2$$
$$s = \sqrt{49}$$
$$s = 7 \text{ cm}$$
Jadi, panjang sisi persegi adalah $\mathbf{7 \text{ cm}}$.
Contoh 6: Diagonal Persegi
Sebuah persegi memiliki panjang sisi $4$ cm. Berapa panjang diagonal persegi tersebut?
$$d = \sqrt{s^2 + s^2} = \sqrt{4^2 + 4^2}$$
$$d = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$
$$d = \sqrt{32} \text{ cm}$$
Bentuk $\sqrt{32}$ adalah bentuk akar (irasional).
G. Rangkuman
| No | Konsep | Rumus / Aturan |
|---|---|---|
| 1 | Definisi | $\sqrt{a} = b$ berarti $b^2 = a$, dengan $a \geq 0$, $b \geq 0$ |
| 2 | Syarat real | $\sqrt{a}$ real jika $a \geq 0$ |
| 3 | Akar pangkat n | $\sqrt[n]{a} = b$ berarti $b^n = a$ |
| 4 | Hubungan dengan pangkat | $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ |
| 5 | Rasional vs Irasional | $\sqrt{a}$ rasional jika $a$ kuadrat sempurna |
| 6 | Kuadrat sempurna | $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …$ |
H. Latihan Soal
- Hitung $\sqrt{81}$!
- Manakah yang merupakan bilangan real: $\sqrt{-16}$ atau $\sqrt{16}$? Jelaskan!
- Kelompokkan bilangan berikut ke dalam rasional atau irasional:
- $\sqrt{36}$
- $\sqrt{8}$
- $\sqrt{49}$
- $\sqrt{12}$
- Tuliskan $\sqrt[3]{125}$ dalam bentuk bilangan bulat!
- Hitung $\sqrt{0,01}$!
- Nyatakan $\sqrt[4]{5}$ dalam bentuk bilangan berpangkat!
- Luas persegi adalah $121 \text{ cm}^2$. Tentukan panjang sisinya!
- Manakah yang lebih besar: $\sqrt{144}$ atau $\sqrt{169}$?
- Hitung $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$!
- Jika $x^2 = 50$, nyatakan $x$ dalam bentuk akar yang paling sederhana!
I. Kunci Jawaban
- $\sqrt{81} = 9$
- $\sqrt{16} = 4$ (real). $\sqrt{-16}$ bukan bilangan real karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya $-16$.
- Rasional: $\sqrt{36} = 6$, $\sqrt{49} = 7$. Irasional: $\sqrt{8}$, $\sqrt{12}$.
- $\sqrt[3]{125} = 5$
- $\sqrt{0,01} = 0,1$
- $\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}$
- $s = \sqrt{121} = 11 \text{ cm}$
- $\sqrt{169} = 13$ lebih besar dari $\sqrt{144} = 12$
- $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$ karena $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$
- $x = \sqrt{50}$