Penerapan Bentuk Akar dalam Kehidupan Sehari-hari

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Menerapkan bentuk akar dalam teorema Pythagoras
2. Menerapkan bentuk akar dalam perhitungan geometri
3. Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan bentuk akar
4. Menyederhanakan hasil perhitungan ke bentuk akar paling sederhana

A. Teorema Pythagoras

Rumus

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

dengan $c$ adalah sisi miring segitiga siku-siku, $a$ dan $b$ adalah sisi tegaknya.

Contoh 1: Diagonal Persegi Panjang

Sebuah persegi panjang memiliki panjang $8$ cm dan lebar $6$ cm. Berapa panjang diagonalnya?

Penyelesaian:

$$d = \sqrt{8^2 + 6^2}$$

$$d = \sqrt{64 + 36}$$

$$d = \sqrt{100}$$

$$d = 10 \text{ cm}$$

Jadi, panjang diagonal persegi panjang adalah $\mathbf{10 \text{ cm}}$.

Contoh 2: Tangga pada Tembok

Sebuah tangga sepanjang $5$ meter bersandar pada tembok. Jika jarak kaki tangga dari tembok adalah $3$ meter, berapa tinggi tembok yang dicapai tangga?

Penyelesaian:

$$t = \sqrt{5^2 - 3^2}$$

$$t = \sqrt{25 - 9}$$

$$t = \sqrt{16}$$

$$t = 4 \text{ meter}$$

Jadi, tinggi tembok yang dicapai tangga adalah $\mathbf{4 \text{ meter}}$.

Contoh 3: Diagonal Ruang

Sebuah balok memiliki ukuran $p = 4$ cm, $l = 3$ cm, $t = 12$ cm. Berapa panjang diagonal ruangnya?

$$d_r = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2}$$

$$d_r = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$$

$$d_r = \sqrt{16 + 9 + 144}$$

$$d_r = \sqrt{169}$$

$$d_r = 13 \text{ cm}$$

Contoh 4: Segitiga dengan Hasil Bentuk Akar

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $3$ cm dan $5$ cm. Berapa panjang sisi miringnya?

$$c = \sqrt{3^2 + 5^2}$$

$$c = \sqrt{9 + 25}$$

$$c = \sqrt{34} \text{ cm}$$

Bentuk $\sqrt{34}$ sudah sederhana (tidak bisa disederhanakan lagi).

B. Geometri Bangun Ruang

Contoh 5: Volume Kubus

Volume sebuah kubus adalah $64 \text{ cm}^3$. Berapa panjang rusuk kubus tersebut?

Penyelesaian:

$$V = s^3$$

$$s = \sqrt[3]{V}$$

$$s = \sqrt[3]{64}$$

$$s = 4 \text{ cm}$$

Jadi, panjang rusuk kubus adalah $\mathbf{4 \text{ cm}}$.

Contoh 6: Luas Segitiga Siku-Siku

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring $10$ cm dan salah satu sisi tegak $6$ cm. Hitung luas segitiga tersebut!

Penyelesaian:

$$b = \sqrt{10^2 - 6^2}$$

$$b = \sqrt{100 - 36}$$

$$b = \sqrt{64}$$

$$b = 8 \text{ cm}$$

$$L = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Jadi, luas segitiga adalah $\mathbf{24 \text{ cm}^2}$.

C. Penerapan Lainnya

Contoh 7: Menghitung Sisi Persegi dari Luas

Luas sebuah persegi adalah $50 \text{ cm}^2$. Berapa panjang sisi persegi tersebut?

$$s = \sqrt{L}$$

$$s = \sqrt{50}$$

$$s = \sqrt{25 \times 2}$$

$$s = 5\sqrt{2} \text{ cm}$$

Jadi, panjang sisi persegi adalah $\mathbf{5\sqrt{2} \text{ cm}}$.

Contoh 8: Skala pada Peta

Jarak sebenarnya antara dua kota adalah $120$ km. Pada peta, jarak kedua kota tersebut adalah $6$ cm. Berapa skala peta tersebut?

Penyelesaian:

$$\text{Skala} = \frac{\text{Jarak pada peta}}{\text{Jarak sebenarnya}}$$

$$= \frac{6 \text{ cm}}{120 \text{ km}}$$

$$= \frac{6}{12.000.000}$$

$$= \frac{1}{2.000.000}$$

Jadi, skala peta adalah $\mathbf{1 : 2.000.000}$.

D. Rangkuman

E. Latihan Soal

1. Sebuah persegi panjang berukuran $9$ cm $\times$ $12$ cm. Hitung panjang diagonalnya!
2. Sebuah tangga sepanjang $13$ meter bersandar di tembok. Jarak kaki tangga dari tembok $5$ meter. Berapa tinggi tembok?
3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak $6$ cm dan $8$ cm. Hitung panjang sisi miringnya!
4. Luas sebuah persegi adalah $72 \text{ cm}^2$. Nyatakan panjang sisinya dalam bentuk akar sederhana!
5. Sebuah balok memiliki ukuran $p = 6$ cm, $l = 6$ cm, $t = 8$ cm. Hitung diagonal ruangnya!
6. Volume kubus adalah $216 \text{ cm}^3$. Berapa panjang rusuknya?
7. Jarak sebenarnya kota A ke B adalah $150$ km. Jarak pada peta $5$ cm. Berapa skala peta?
8. Sebuah segitiga siku-siku sama kaki memiliki panjang sisi kaki $4$ cm. Hitung panjang sisi miringnya!

F. Kunci Jawaban

1. $d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm
2. $t = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ meter
3. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm
4. $s = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ cm
5. $d_r = \sqrt{6^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 36 + 64} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$ cm
6. $s = \sqrt[3]{216} = 6$ cm
7. Skala $= 5 : 15.000.000 = 1 : 3.000.000$
8. $c = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm