Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar sejenis
- Mengalikan bentuk akar dengan koefisien dan sesama bentuk akar
- Membagi bentuk akar
- Menerapkan sifat distributif pada bentuk akar
- Menyederhanakan hasil operasi aljabar bentuk akar
A. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Syarat
Bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki radikan yang sama (akar sejenis).
Rumus
$$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$$
$$a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}$$
Penting: Yang dijumlah atau dikurangkan adalah koefisien-nya, bukan angka di dalam akar!
Contoh 1: Penjumlahan
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ | $(3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ |
| $2\sqrt{3} + 7\sqrt{3}$ | $(2+7)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$ | $(1+4)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ |
| $6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7}$ | $(6+2+3)\sqrt{7} = 11\sqrt{7}$ |
Contoh 2: Pengurangan
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$ | $(8-3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ |
| $10\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$ | $(10-4)\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ |
| $7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$ | $(7-2-1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ |
Contoh 3: Tidak Sejenis
Jika radikan berbeda, tidak bisa dijumlah atau dikurangkan:
| Soal | Hasil | Alasan |
|---|---|---|
| $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$ | Tetap $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$ | Beda radikan (2 vs 3) |
| $4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$ | Tetap $4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$ | Beda radikan (5 vs 2) |
| $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ | Tetap $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ | Beda radikan |
Contoh 4: Sederhanakan Dulu
Terkadang bentuk akar perlu disederhanakan terlebih dahulu agar bisa dijumlahkan.
$$\sqrt{12} + \sqrt{27}$$
$$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$$
$$= (2+3)\sqrt{3}$$
$$= 5\sqrt{3}$$
| Soal | Sederhanakan | Hasil |
|---|---|---|
| $\sqrt{8} + \sqrt{18}$ | $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$ | $5\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{20} - \sqrt{45}$ | $2\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$ | $-\sqrt{5}$ |
| $\sqrt{50} + \sqrt{32}$ | $5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$ | $9\sqrt{2}$ |
B. Perkalian Bentuk Akar
Rumus Dasar
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$
dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.
Perkalian Koefisien dengan Koefisien
$$a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = (a \times c) \times \sqrt{b \times d}$$
Contoh 5: Perkalian
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ | $\sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$ |
| $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ | $\sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$ |
| $3\sqrt{2} \times 4\sqrt{5}$ | $(3 \times 4) \times \sqrt{2 \times 5} = 12\sqrt{10}$ |
| $2\sqrt{6} \times 5\sqrt{3}$ | $(2 \times 5) \times \sqrt{6 \times 3} = 10\sqrt{18} = 10 \times 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$ |
| $(-2\sqrt{7}) \times 3\sqrt{2}$ | $(-2 \times 3) \times \sqrt{7 \times 2} = -6\sqrt{14}$ |
Perkalian Bentuk $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})$
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{c} + \sqrt{d}) = \sqrt{ac} + \sqrt{ad} + \sqrt{bc} + \sqrt{bd}$$
Contoh 6: Perkalian Dua Suku
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $(2 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{2})$ | $6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$ |
| $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ | $5 - 2 = 3$ (bentuk sekawan) |
| $(3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 4)$ | $3(2) + 12\sqrt{2} - \sqrt{2} - 4 = 6 + 11\sqrt{2} - 4 = 2 + 11\sqrt{2}$ |
Perhatikan contoh kedua: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$. Ini disebut bentuk sekawan dan sangat berguna untuk merasionalkan penyebut.
Kuadrat Bentuk Akar
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$$
$$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$$
Contoh 7: Kuadrat
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ | $3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$ |
| $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$ | $5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$ |
| $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ | $(2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 8 + 4\sqrt{6} + 3 = 11 + 4\sqrt{6}$ |
C. Pembagian Bentuk Akar
Rumus Dasar
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$
dengan $a \geq 0$ dan $b > 0$.
Contoh 8: Pembagian
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ | $\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ |
| $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$ | $\sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$ |
| $\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{3}}$ | $\frac{6}{2} \times \sqrt{\frac{18}{3}} = 3 \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$ |
| $\frac{10\sqrt{50}}{5\sqrt{2}}$ | $\frac{10}{5} \times \sqrt{\frac{50}{2}} = 2 \times \sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$ |
D. Sifat Distributif pada Bentuk Akar
Rumus
$$\sqrt{a}(b + \sqrt{c}) = b\sqrt{a} + \sqrt{ac}$$
Contoh 9: Distributif
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $\sqrt{2}(3 + \sqrt{5})$ | $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ |
| $\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 4)$ | $2(3) + 4\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$ |
| $2\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ | $2(5) - 2\sqrt{10} = 10 - 2\sqrt{10}$ |
E. Rangkuman
| No | Operasi | Rumus | Syarat |
|---|---|---|---|
| 1 | Penjumlahan | $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$ | Radikan sama |
| 2 | Pengurangan | $a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c}$ | Radikan sama |
| 3 | Perkalian | $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ | $a,b \geq 0$ |
| 4 | Perkalian | $a\sqrt{b} \times c\sqrt{d} = ac\sqrt{bd}$ | $b,d \geq 0$ |
| 5 | Pembagian | $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ | $a \geq 0, b > 0$ |
| 6 | Distributif | $\sqrt{a}(b + \sqrt{c}) = b\sqrt{a} + \sqrt{ac}$ | $a,c \geq 0$ |
| 7 | Sekawan | $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ | $a,b \geq 0$ |
| 8 | Kuadrat jumlah | $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$ | $a,b \geq 0$ |
💡 Tips: Operasi bentuk akar mirip dengan operasi aljabar biasa. Anggap $\sqrt{a}$ seperti variabel $x$. Maka $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ sama seperti $3x + 5x = 8x$.
F. Latihan Soal
- $4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = \dots$
- $9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \dots$
- $\sqrt{8} + \sqrt{32} = \dots$
- $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{3} = \dots$
- $(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \dots$
- $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \dots$
- $\sqrt{3}(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) = \dots$
- $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = \dots$
- $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48} = \dots$
- $(3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{8}) = \dots$
G. Kunci Jawaban
- $4\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$
- $9\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$
- $\sqrt{8} + \sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
- $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{6}$
- $(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) = 3 - 5 = -2$
- $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$
- $\sqrt{3}(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) = 2(3) + \sqrt{18} = 6 + 3\sqrt{2}$
- $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$
- $2\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{48} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
- $(3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{8}) = 12 - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{2} - \sqrt{16}$
$= 12 - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4 = 8 - 2\sqrt{2}$