Menyederhanakan Bentuk Akar
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menyederhanakan bentuk akar $\sqrt{a}$ dengan $a$ bukan kuadrat sempurna
- Mengubah $\sqrt{a \times b}$ menjadi $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- Menentukan faktor kuadrat sempurna dari suatu bilangan
- Menyederhanakan bentuk akar pecahan
- Membedakan bentuk akar yang sudah sederhana dan yang belum
A. Konsep Dasar Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar $\sqrt{a}$ dikatakan sederhana jika bilangan $a$ tidak memiliki faktor kuadrat sempurna selain 1.
Sifat Penting
$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$
dengan $a \geq 0$ dan $b \geq 0$.
Strategi Menyederhanakan
Untuk menyederhanakan $\sqrt{a}$:
- Faktorkan $a$ menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna dengan bilangan lainnya
- Keluarkan akar dari faktor kuadrat sempurna
- Sederhanakan hasilnya
B. Kuadrat Sempurna yang Perlu Dihafal
| $n$ | $n^2$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
| 13 | 169 |
| 14 | 196 |
| 15 | 225 |
C. Langkah Demi Langkah
Contoh 1: Menyederhanakan $\sqrt{12}$
$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} \quad (\text{4 adalah kuadrat sempurna terbesar yang membagi 12})$$
$$\sqrt{12} = \sqrt{4} \times \sqrt{3}$$
$$\sqrt{12} = 2 \times \sqrt{3}$$
$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$
Jadi, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Contoh 2: Menyederhanakan $\sqrt{50}$
$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} \quad (\text{25 adalah kuadrat sempurna terbesar yang membagi 50})$$
$$\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}$$
$$\sqrt{50} = 5 \times \sqrt{2}$$
$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$
Contoh 3: Menyederhanakan $\sqrt{72}$
$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \quad (\text{36 adalah kuadrat sempurna terbesar})$$
$$\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$$
$$\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$
Contoh 4: Menyederhanakan $\sqrt{48}$
$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} \quad (\text{16 adalah kuadrat sempurna terbesar})$$
$$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$
Tabel Perbandingan
| Bentuk Awal | Kuadrat Sempurna Terbesar | Bentuk Sederhana |
|---|---|---|
| $\sqrt{8}$ | $4 = 2^2$ | $2\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{18}$ | $9 = 3^2$ | $3\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{20}$ | $4 = 2^2$ | $2\sqrt{5}$ |
| $\sqrt{27}$ | $9 = 3^2$ | $3\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{28}$ | $4 = 2^2$ | $2\sqrt{7}$ |
| $\sqrt{32}$ | $16 = 4^2$ | $4\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{44}$ | $4 = 2^2$ | $2\sqrt{11}$ |
| $\sqrt{45}$ | $9 = 3^2$ | $3\sqrt{5}$ |
| $\sqrt{50}$ | $25 = 5^2$ | $5\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{54}$ | $9 = 3^2$ | $3\sqrt{6}$ |
| $\sqrt{72}$ | $36 = 6^2$ | $6\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{75}$ | $25 = 5^2$ | $5\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{80}$ | $16 = 4^2$ | $4\sqrt{5}$ |
| $\sqrt{96}$ | $16 = 4^2$ | $4\sqrt{6}$ |
| $\sqrt{108}$ | $36 = 6^2$ | $6\sqrt{3}$ |
| $\sqrt{112}$ | $16 = 4^2$ | $4\sqrt{7}$ |
| $\sqrt{125}$ | $25 = 5^2$ | $5\sqrt{5}$ |
D. Menyederhanakan Akar dari Pecahan
Sifat
$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
dengan $a \geq 0$ dan $b > 0$.
Contoh 5: Pecahan dalam Akar
| Soal | Penyelesaian |
|---|---|
| $\sqrt{\frac{4}{9}}$ | $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$ |
| $\sqrt{\frac{25}{36}}$ | $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$ |
| $\sqrt{\frac{3}{4}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\sqrt{\frac{2}{9}}$ | $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ |
E. Bentuk $a\sqrt{b}$ dan Penjumlahan dalam Akar
Perhatikan!
$$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
Contoh 6: Jebakan
$$\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
$$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$$
$$\text{Terbukti } \sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$$
Penting: Bentuk akar tidak bersifat distributif terhadap penjumlahan!
F. Rangkuman
| No | Konsep | Rumus | Contoh |
|---|---|---|---|
| 1 | Perkalian dalam akar | $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ | $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ |
| 2 | Pecahan dalam akar | $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | $\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 3 | Penjumlahan dalam akar | $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ | $\sqrt{9+16} \neq \sqrt{9}+\sqrt{16}$ |
| 4 | Bentuk sederhana | Tidak ada faktor kuadrat sempurna | $\sqrt{7}$ sudah sederhana |
G. Latihan Soal
Sederhanakan bentuk akar berikut!
- $\sqrt{20}$
- $\sqrt{28}$
- $\sqrt{45}$
- $\sqrt{54}$
- $\sqrt{63}$
- $\sqrt{75}$
- $\sqrt{98}$
- $\sqrt{108}$
- $\sqrt{128}$
- $\sqrt{\frac{50}{9}}$
H. Kunci Jawaban
- $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$
- $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$
- $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
- $\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$
- $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
- $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
- $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$
- $\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$
- $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$
- $\sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$