Rasio Berbalik Nilai
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menjelaskan pengertian perbandingan berbalik nilai
- Membedakan perbandingan senilai dan berbalik nilai
- Menentukan nilai yang belum diketahui pada perbandingan berbalik nilai
- Membaca grafik perbandingan berbalik nilai
- Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan perbandingan berbalik nilai
A. Pengertian Perbandingan Berbalik Nilai
Dua besaran dikatakan berbanding berbalik nilai jika ketika satu besaran bertambah, besaran lainnya berkurang dengan perbandingan yang tetap.
$$\boxed{a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2}$$
Ciri-Ciri Perbandingan Berbalik Nilai
| Jika | Maka |
|---|---|
| Satu besaran bertambah $2\times$ | Besaran lain berkurang $2\times$ |
| Satu besaran berkurang $3\times$ | Besaran lain bertambah $3\times$ |
| Hasil kali antar besaran tetap (konstan) | $a \times b$ selalu sama |
Perbedaan dengan Perbandingan Senilai
| Aspek | Senilai | Berbalik Nilai |
|---|---|---|
| Rumus | $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$ | $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$ |
| Grafik | Garis lurus naik | Kurva menurun |
| Contoh | Semakin banyak barang, semakin besar harga | Semakin banyak pekerja, semakin cepat selesai |
B. Rumus dan Contoh
Rumus
$$a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$$
Contoh 1: Pekerja dan Waktu
Sebuah proyek dikerjakan oleh 4 pekerja selesai dalam 12 hari. Berapa hari jika dikerjakan oleh 6 pekerja?
| Pekerja | Hari |
|---|---|
| 4 | 12 |
| 6 | $x$ |
$$4 \times 12 = 6 \times x$$
$$48 = 6x$$
$$x = 8 \text{ hari}$$
Jadi, 6 pekerja selesai dalam 8 hari.
Contoh 2: Kecepatan dan Waktu
Jarak kota A ke B dapat ditempuh dengan kecepatan 40 km/jam selama 3 jam. Berapa waktu jika kecepatannya 60 km/jam?
$$40 \times 3 = 60 \times t$$
$$120 = 60t$$
$$t = 2 \text{ jam}$$
Contoh 3: Ayam dan Pakan
Persediaan pakan untuk 20 ekor ayam cukup untuk 15 hari. Jika ayamnya menjadi 25 ekor, berapa hari pakan akan habis?
$$20 \times 15 = 25 \times h$$
$$300 = 25h$$
$$h = 12 \text{ hari}$$
Jadi, pakan cukup untuk 12 hari.
Tabel Perbandingan Berbalik Nilai
| Besaran I | Besaran II | $a \times b$ | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 2 pekerja | 12 hari | $2 \times 12 = 24$ | Konstan |
| 3 pekerja | 8 hari | $3 \times 8 = 24$ | Konstan |
| 4 pekerja | 6 hari | $4 \times 6 = 24$ | Konstan |
| 6 pekerja | 4 hari | $6 \times 4 = 24$ | Konstan |
| 8 pekerja | 3 hari | $8 \times 3 = 24$ | Konstan |
Perhatikan: $a \times b$ selalu sama (24). Inilah ciri perbandingan berbalik nilai!
Tabel Contoh Kehidupan
| Situasi | Senilai atau Berbalik? | Alasan |
|---|---|---|
| Banyak barang vs total harga | ✅ Senilai | Makin banyak → makin mahal |
| Banyak pekerja vs waktu selesai | 🔄 Berbalik | Makin banyak → makin cepat |
| Kecepatan vs waktu tempuh | 🔄 Berbalik | Makin kencang → makin cepat sampai |
| Banyak buku vs harga total | ✅ Senilai | Makin banyak buku → makin besar harga |
| Banyak ayam vs lama pakan habis | 🔄 Berbalik | Makin banyak ayam → makin cepat habis |
| Jarak tempuh vs bensin terpakai | ✅ Senilai | Makin jauh → makin banyak bensin |
C. Mencari Nilai yang Belum Diketahui
Metode Perkalian
$$a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$$
Contoh 4: Berbagai Soal
| Soal | Rumus | Penyelesaian | Hasil |
|---|---|---|---|
| $\frac{1}{x}$ pekerja, 8 hari = 6 pekerja, $x$ hari | $4 \times 12 = 6x$ | $48 = 6x$ | $x = 8$ |
| $40$ km/jam, $3$ jam = $v$ km/jam, $2$ jam | $40 \times 3 = v \times 2$ | $120 = 2v$ | $v = 60$ km/jam |
| $6$ orang, $10$ hari = $15$ orang, $x$ hari | $6 \times 10 = 15x$ | $60 = 15x$ | $x = 4$ hari |
| $5$ mesin, $12$ jam = $8$ mesin, $x$ jam | $5 \times 12 = 8x$ | $60 = 8x$ | $x = 7,5$ jam |
D. Grafik Perbandingan Berbalik Nilai
Grafik perbandingan berbalik nilai berupa kurva menurun.
Contoh Data
| Kecepatan (km/jam) | Waktu (jam) |
|---|---|
| 20 | 6 |
| 30 | 4 |
| 40 | 3 |
| 60 | 2 |
| 120 | 1 |
Ciri grafik perbandingan berbalik nilai:
- Berupa kurva menurun
- Tidak melalui titik $(0,0)$
- Semakin ke kanan, semakin ke bawah (turun)
- Hasil kali $x \times y$ selalu tetap
E. Contoh Soal Cerita
Contoh 5: Pembangunan Jalan
Suatu proyek pembangunan jalan diperkirakan selesai dalam 30 hari oleh 12 pekerja. Setelah 10 hari bekerja, proyek dihentikan selama 5 hari. Berapa tambahan pekerja agar proyek selesai tepat waktu?
Penyelesaian:
Sisa waktu awal = $30 - 10 = 20$ hari
Setelah libur 5 hari, sisa waktu = $20 - 5 = 15$ hari
Pekerja yang dibutuhkan:
$$12 \times 20 = p \times 15$$
$$240 = 15p$$
$$p = 16$$
Tambahan pekerja = $16 - 12 = 4$ orang
Contoh 6: Persediaan Makanan
Sebuah kapal memiliki persediaan makanan untuk 30 orang selama 20 hari. Jika 10 orang naik di tengah perjalanan, berapa hari persediaan akan bertahan?
Penyelesaian:
Total orang setelah naik = $30 + 10 = 40$ orang
$$30 \times 20 = 40 \times h$$
$$600 = 40h$$
$$h = 15 \text{ hari}$$
F. Rangkuman
| No | Konsep | Penjelasan |
|---|---|---|
| 1 | Definisi | Satu besaran naik, besaran lain turun |
| 2 | Rumus | $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$ |
| 3 | Ciri | Hasil kali tetap konstan |
| 4 | Grafik | Kurva menurun |
| 5 | Beda senilai | Senilai: $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$. Berbalik: $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$ |
G. Latihan Soal
- 6 pekerja menyelesaikan pekerjaan dalam 15 hari. Berapa hari jika 9 pekerja?
- Kecepatan 50 km/jam menempuh jarak dalam 4 jam. Berapa kecepatan agar sampai dalam 2,5 jam?
- 8 ekor kambing menghabiskan rumput dalam 12 hari. Berapa hari jika 6 ekor kambing?
- 5 mesin memproduksi barang dalam 8 jam. Berapa jam jika mesin ditambah menjadi 8?
- 20 orang dapat menyelesaikan tugas dalam 18 hari. Setelah 6 hari, 5 orang berhenti. Berapa hari sisa tugas selesai?
- Sebuah mobil dengan kecepatan 60 km/jam menempuh perjalanan dalam 5 jam. Jika ingin sampai 1 jam lebih cepat, berapa kecepatannya?
- Persediaan makanan 40 ekor ayam cukup untuk 12 hari. Jika 10 ekor ayam dijual, berapa hari persediaan cukup?
- 3 pekerja membangun 1 rumah dalam 24 hari. Berapa pekerja yang dibutuhkan agar selesai dalam 8 hari?
- Sebuah pompa mengosongkan kolam dalam 6 jam. Jika pompa yang digunakan 3 kali lebih cepat, berapa jam yang dibutuhkan?
- Mana yang merupakan perbandingan berbalik nilai? a) Banyak buku dengan harganya b) Kecepatan dengan waktu tempuh c) Jarak tempuh dengan bensin yang digunakan
H. Kunci Jawaban
- $6 \times 15 = 9x \Rightarrow x = 10$ hari
- $50 \times 4 = v \times 2,5 \Rightarrow v = 80$ km/jam
- $8 \times 12 = 6x \Rightarrow x = 16$ hari
- $5 \times 8 = 8x \Rightarrow x = 5$ jam
- Sisa volume pekerjaan awal: $20 \times 18 = 360$. Setelah 6 hari: $20 \times 6 = 120$. Sisa: $360 - 120 = 240$. Sisa pekerja: $20 - 5 = 15$. Waktu: $240 \div 15 = 16$ hari.
- Waktu baru = $5 - 1 = 4$ jam. $60 \times 5 = v \times 4 \Rightarrow v = 75$ km/jam
- Ayam sekarang = $40 - 10 = 30$. $40 \times 12 = 30x \Rightarrow x = 16$ hari
- $3 \times 24 = p \times 8 \Rightarrow p = 9$ pekerja
- Pompa 3× lebih cepat berarti waktu $\frac{1}{3}$-nya. $6 \div 3 = 2$ jam
- b) Kecepatan dengan waktu tempuh (makin cepat, makin singkat waktunya)