Menentukan Rumus Suku ke-n
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Menemukan rumus suku ke-$n$ dari suatu barisan
- Menentukan suku tertentu menggunakan rumus $U_n$
- Menentukan nomor suku ($n$) jika nilai suku diketahui
- Menerapkan rumus suku ke-$n$ dalam pemecahan masalah
A. Menemukan Rumus $U_n$
Rumus suku ke-$n$ adalah fungsi yang menyatakan nilai suku ke-$n$ berdasarkan $n$.
Barisan Aritmetika
$$U_n = a + (n-1)b$$
Langkah-langkah:
- Tentukan suku pertama ($a$)
- Tentukan beda ($b$) = $U_2 - U_1$
- Substitusi ke rumus $U_n = a + (n-1)b$
Contoh 1: Menemukan Rumus
| Barisan | $a$ | $b$ | Rumus $U_n$ |
|---|---|---|---|
| $2, 5, 8, 11, 14$ | 2 | 3 | $2 + (n-1)3 = 3n - 1$ |
| $10, 7, 4, 1, -2$ | 10 | $-3$ | $10 + (n-1)(-3) = -3n + 13$ |
| $5, 9, 13, 17, 21$ | 5 | 4 | $5 + (n-1)4 = 4n + 1$ |
| $20, 15, 10, 5, 0$ | 20 | $-5$ | $20 + (n-1)(-5) = -5n + 25$ |
| $1, 8, 15, 22, 29$ | 1 | 7 | $1 + (n-1)7 = 7n - 6$ |
B. Menentukan Suku Tertentu
Contoh 2: Menggunakan Rumus
Barisan: $7, 12, 17, 22, …$ Tentukan $U_{15}$!
$a = 7$, $b = 5$
$$U_n = 7 + (n-1)5 = 5n + 2$$
$$U_{15} = 5(15) + 2 = 75 + 2 = 77$$
Contoh 3: Berbagai Perhitungan
| Barisan | Rumus $U_n$ | Yang Ditanyakan | Hasil |
|---|---|---|---|
| $3, 6, 9, 12$ | $3n$ | $U_{10}$ | $30$ |
| $4, 7, 10, 13$ | $3n + 1$ | $U_{20}$ | $61$ |
| $8, 5, 2, -1$ | $-3n + 11$ | $U_{12}$ | $-25$ |
| $6, 10, 14, 18$ | $4n + 2$ | $U_{30}$ | $122$ |
| $-2, 2, 6, 10$ | $4n - 6$ | $U_{8}$ | $26$ |
C. Mencari $n$ Jika $U_n$ Diketahui
Contoh 4: Mencari Nomor Suku
Barisan: $5, 9, 13, 17, …$ Suku ke berapa yang bernilai 81?
$a = 5$, $b = 4$
$$U_n = 5 + (n-1)4 = 4n + 1$$
$$4n + 1 = 81$$
$$4n = 80$$
$$n = 20$$
Jadi, $81$ adalah suku ke-20.
Contoh 5: Lebih Banyak Latihan
| Rumus $U_n$ | Nilai $U_n$ | $n$ |
|---|---|---|
| $3n + 2$ | $29$ | $3n+2=29 \Rightarrow 3n=27 \Rightarrow n=9$ |
| $5n - 3$ | $47$ | $5n-3=47 \Rightarrow 5n=50 \Rightarrow n=10$ |
| $2n + 5$ | $31$ | $2n+5=31 \Rightarrow 2n=26 \Rightarrow n=13$ |
| $4n - 1$ | $75$ | $4n-1=75 \Rightarrow 4n=76 \Rightarrow n=19$ |
D. Membuat Rumus dari Pola Kontekstual
Contoh 6: Kursi di Aula
Sebuah aula memiliki baris kursi: baris ke-1 = 12 kursi, ke-2 = 16 kursi, ke-3 = 20 kursi. Tentukan: a) Rumus banyak kursi pada baris ke-$n$ b) Banyak kursi pada baris ke-18 c) Baris ke berapa yang memiliki 60 kursi?
Penyelesaian:
a) $a = 12$, $b = 4$. $U_n = 12 + (n-1)4 = 4n + 8$
b) $U_{18} = 4(18) + 8 = 72 + 8 = 80$ kursi
c) $4n + 8 = 60 \Rightarrow 4n = 52 \Rightarrow n = 13$
Contoh 7: Tabungan
Seorang anak menabung: minggu ke-1 = Rp5.000, ke-2 = Rp8.000, ke-3 = Rp11.000. Tentukan minggu ke berapa tabungannya Rp50.000?
$a = 5.000$, $b = 3.000$
$$U_n = 5.000 + (n-1)3.000 = 3.000n + 2.000$$
$$3.000n + 2.000 = 50.000$$
$$3.000n = 48.000$$
$$n = 16$$
Jadi, tabungan Rp50.000 tercapai pada minggu ke-16.
E. Rangkuman
| No | Yang Dicari | Rumus/Cara |
|---|---|---|
| 1 | Rumus $U_n$ (diketahui $a$ dan $b$) | $U_n = a + (n-1)b$ |
| 2 | Suku ke-$n$ (diketahui rumus) | Substitusi $n$ |
| 3 | Nomor suku $n$ (diketahui $U_n$) | Selesaikan persamaan |
| 4 | Beda $b$ (diketahui dua suku) | $b = U_{k+1} - U_k$ |
| 5 | Suku pertama $a$ | $a = U_1$ |
F. Latihan Soal
- Tentukan rumus $U_n$ dari barisan: $6, 10, 14, 18, …$
- Tentukan rumus $U_n$ dari barisan: $15, 12, 9, 6, …$
- Tentukan $U_{12}$ dari barisan: $4, 9, 14, 19, …$
- Tentukan $U_{20}$ dari barisan: $30, 26, 22, 18, …$
- Barisan: $8, 15, 22, 29, …$ Suku ke berapa yang bernilai $176$?
- Barisan: $-3, 1, 5, 9, …$ Tentukan $U_{15}$!
- Diketahui $U_n = 6n - 2$. Tentukan $U_8$!
- Diketahui $U_n = 4n + 7$. Tentukan $n$ jika $U_n = 55$!
- Sebuah barisan: $U_n = 3n + 5$. Tentukan $U_{25}$!
- Suatu barisan aritmetika memiliki $a = 12$ dan $b = 7$. Tentukan $U_{30}$!
G. Kunci Jawaban
- $a=6, b=4$. $U_n = 6 + (n-1)4 = 4n + 2$
- $a=15, b=-3$. $U_n = 15 + (n-1)(-3) = -3n + 18$
- $a=4, b=5$. $U_n = 5n - 1$. $U_{12} = 5(12) - 1 = 59$
- $a=30, b=-4$. $U_n = -4n + 34$. $U_{20} = -4(20) + 34 = -46$
- $U_n = 7n + 1$. $7n + 1 = 176 \Rightarrow n = 25$
- $U_n = 4n - 7$. $U_{15} = 4(15) - 7 = 53$
- $U_8 = 6(8) - 2 = 46$
- $4n + 7 = 55 \Rightarrow n = 12$
- $U_{25} = 3(25) + 5 = 80$
- $U_{30} = 12 + 29(7) = 215$