Pola Susunan Benda
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:
- Mengidentifikasi pola dari susunan benda
- Menentukan rumus banyak benda pada pola ke-$n$
- Menghitung banyak benda pada pola tertentu
- Menyelesaikan masalah kontekstual pola susunan benda
A. Pola Korek Api
Pola Persegi dari Korek Api
Perhatikan susunan persegi dari batang korek api berikut:
| Pola ke-1 | Pola ke-2 | Pola ke-3 |
|---|---|---|
| $\square$ | $\square\square$ | $\square\square\square$ |
| 4 batang | 7 batang | 10 batang |
Pola banyak batang: $4, 7, 10, 13, …$
$a = 4$, $b = 3$
$$U_n = 4 + (n-1) \times 3 = 3n + 1$$
Contoh: Pola ke-10 → $3 \times 10 + 1 = 31$ batang
Pola Segitiga dari Korek Api
| Pola ke-1 | Pola ke-2 | Pola ke-3 |
|---|---|---|
| $\triangle$ | $\triangle\triangle$ | $\triangle\triangle\triangle$ |
| 3 batang | 5 batang | 7 batang |
Pola banyak batang: $3, 5, 7, 9, …$
$a = 3$, $b = 2$
$$U_n = 3 + (n-1) \times 2 = 2n + 1$$
Contoh: Pola ke-8 → $2 \times 8 + 1 = 17$ batang
B. Tabel Pola Susunan Benda
| Pola | Suku 1 | Suku 2 | Suku 3 | Suku 4 | Rumus $U_n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Persegi korek api | 4 | 7 | 10 | 13 | $3n + 1$ |
| Segitiga korek api | 3 | 5 | 7 | 9 | $2n + 1$ |
| Persegi satuan | 1 | 4 | 9 | 16 | $n^2$ |
| Persegi panjang | 2 | 6 | 12 | 20 | $n(n+1)$ |
| Lingkaran | 1 | 3 | 5 | 7 | $2n - 1$ |
Contoh 1: Berbagai Pola Korek Api
| Susunan | Pola bilangan | Rumus | Pola ke-10 |
|---|---|---|---|
| Segitiga siku-siku dari batang korek | $3, 5, 7, 9$ | $2n + 1$ | $21$ batang |
| Jajaran genjang dari batang korek | $6, 10, 14, 18$ | $4n + 2$ | $42$ batang |
| Rumah dari batang korek | $6, 11, 16, 21$ | $5n + 1$ | $51$ batang |
C. Pola Ubin/Lantai
Contoh 2: Ubin Hitam Putih
Sebuah lantai dipasang ubin dengan pola: ubin putih di pinggir, ubin hitam di tengah.
| Pola ke-1 | Pola ke-2 | Pola ke-3 |
|---|---|---|
| $1 \times 1$ | $2 \times 2$ | $3 \times 3$ |
| Ubin putih: 4 | Ubin putih: 8 | Ubin putih: 12 |
| Ubin hitam: 1 | Ubin hitam: 4 | Ubin hitam: 9 |
Pola ubin putih: $4, 8, 12, 16, …$ → $U_n = 4n$
Pola ubin hitam: $1, 4, 9, 16, …$ → $U_n = n^2$
Pola ke-5: Ubin putih = $4 \times 5 = 20$, Ubin hitam = $5^2 = 25$
D. Pola Lingkaran/Bola
Contoh 3: Susunan Bola
Perhatikan susunan bola berikut:
| Pola ke-1 | Pola ke-2 | Pola ke-3 |
|---|---|---|
| $\circ$ | $\circ\ \circ$ | $\circ\ \circ\ \circ$ |
| $\circ\ \circ$ | $\circ\ \circ\ \circ$ | |
| $\circ\ \circ\ \circ$ | ||
| 1 bola | 3 bola | 6 bola |
Ini adalah pola bilangan segitiga:
$$1, 3, 6, 10, 15, …$$
$$U_n = \frac{n(n+1)}{2}$$
Contoh: Pola ke-8 → $\frac{8 \times 9}{2} = 36$ bola
E. Contoh Soal Cerita
Contoh 4: Pagar Kayu
Seorang tukang membuat pagar dari bilah kayu. Pola pertama menggunakan 5 bilah, pola kedua 8 bilah, pola ketiga 11 bilah. Jika pola berlanjut, berapa bilah pada pola ke-15?
Penyelesaian:
$a = 5$, $b = 3$
$$U_{15} = 5 + 14 \times 3 = 5 + 42 = 47 \text{ bilah}$$
Contoh 5: Kursi Pertemuan
Pada sebuah pertemuan, kursi diatur dengan pola: baris ke-1 = 5 kursi, ke-2 = 8 kursi, ke-3 = 11 kursi. Berapa total kursi pada 10 baris pertama?
Penyelesaian:
$a = 5$, $b = 3$
$$U_{10} = 5 + 9 \times 3 = 32$$
Jumlah 10 suku pertama:
$$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$$
$$S_{10} = \frac{10}{2}(5 + 32) = 5 \times 37 = 185 \text{ kursi}$$
F. Rangkuman
| No | Pola Susunan | Barisan | Rumus $U_n$ |
|---|---|---|---|
| 1 | Persegi korek api | $4, 7, 10, 13$ | $3n + 1$ |
| 2 | Segitiga korek api | $3, 5, 7, 9$ | $2n + 1$ |
| 3 | Persegi satuan | $1, 4, 9, 16$ | $n^2$ |
| 4 | Segitiga bola | $1, 3, 6, 10$ | $\frac{n(n+1)}{2}$ |
| 5 | Ubin putih pinggir | $4, 8, 12, 16$ | $4n$ |
G. Latihan Soal
- Pola korek api persegi: $4, 7, 10, 13, …$ Berapa batang pada pola ke-12?
- Pola korek api segitiga: $3, 5, 7, 9, …$ Berapa batang pada pola ke-20?
- Susunan lingkaran membentuk pola segitiga: $1, 3, 6, 10, …$ Berapa lingkaran pada pola ke-7?
- Ubin putih pada tepi: $4, 8, 12, 16, …$ Berapa ubin putih pada pola ke-15?
- Susunan kursi: baris ke-1 = 8 kursi, ke-2 = 11 kursi, ke-3 = 14 kursi. Berapa kursi pada baris ke-10?
- Pola pagar: $6, 10, 14, 18, …$ Berapa bilah pada pola ke-25?
- Pola batang korek rumah: $6, 11, 16, 21, …$ Tentukan rumus $U_n$!
- Pola ke-1 = 2 lingkaran, ke-2 = 4, ke-3 = 6. Berapa lingkaran pola ke-30?
- Sebuah tangga: anak tangga ke-1 = 5 cm, ke-2 = 8 cm, ke-3 = 11 cm. Berapa tinggi anak tangga ke-8?
- Perhatikan pola:
- Pola 1: 2 batang
- Pola 2: 5 batang
- Pola 3: 8 batang
- Pola 4: 11 batang Tentukan rumus $U_n$ dan banyak batang pada pola ke-20!
H. Kunci Jawaban
- $U_{12} = 3(12) + 1 = 37$ batang
- $U_{20} = 2(20) + 1 = 41$ batang
- $U_7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28$ lingkaran
- $U_{15} = 4 \times 15 = 60$ ubin
- $a=8, b=3$. $U_{10} = 8 + 9(3) = 35$ kursi
- $a=6, b=4$. $U_{25} = 6 + 24(4) = 102$ bilah
- $a=6, b=5$. $U_n = 5n + 1$
- $a=2, b=2$. $U_{30} = 2 + 29(2) = 60$ lingkaran
- $a=5, b=3$. $U_8 = 5 + 7(3) = 26$ cm
- $a=2, b=3$. $U_n = 3n - 1$. $U_{20} = 3(20) - 1 = 59$ batang